هل شعر القطط يمنع الصلاة؟

نعم لا تجوز الصلاة في ثوب عليه شيء من شعر القط.

هل يجب التكبير ( مثل تكبيرة الصلاة ) لسجدتي السهو؟

سجدتي السهو ليس لهما تكبير مثل تكبير الصلاة.

هل يقصر أم يتم في الصلاة لمقدمات العمل وإنهاء ما يلزم للعمل؟

يتم صلاته، ويصوم إذا كان في شهر رمضان.

يستحب بعد الإقامة قبل تكبيرة الاحرام قول: 
يا مُحسِنُ قَد أتاكَ المُسيءُ وقَد أمَرتَ المُحسِنَ أن يَتَجاوَزَ عَنِ المُسيءِ، وأنتَ المُحسِنُ وأنَا المُسيءُ، فَبِحَقِّ مُحَمَّدٍ وآلِ مُحَمَّدٍ صَلِّ عَلى مُحَمَّدٍ وآلِ مُحَمَّدٍ وتَجاوَز عَن قَبيحِ ما تَعلَمُ مِنّي.
السؤال: هل يستحب أثناء قراءة الدعاء التقدم خطوة كما يفعل البعض؟

التقدم خطوة هو في الفصل بين الأذان والإقامة، أما بين الإقامة وتكبيرة الإحرام فقراءة الدعاء فقط وليس التقدم.
ويستحب الفصل بين الأذان والإقامة بسجدة، ويقول فيها: 
( اللهم اجعل قلبي بارّاً، ورزقي دارّاً، وعيشي قارّاً، وعملي سارّاً، واجعل لي عند قبر نَبِيِّكَ صلى الله عليه وآله مستقراً وقراراً )، أو بخطوة، ويقول: ( بالله استفتح، وبمحمد صلى الله عليه وآله أستنجح وأتوجه، اللهم صل على محمد وآل محمد واجعلني وجيهًا في الدنيا والآخرة ومن المقربين )، أو يفصل بينهما بجلسة، أو بسكتة، أو بدعاء، أو تسبيح أو تحميد، أو بركعتين من نوافل الفرائض في غير صلاة المغرب، لعدم وجود نافلة قبلها.

شخص كان يقرأ في صلاته الواجبة بعد سورة الفاتحة سورة الضحى فقط دون أن يضيف إليها سورة الانشراح، ويقرأ سورة الفيل دون أن يضيف إليها سورة قريش جهلًا منه بالحكم، ما حكم صلاته السابقة؟

صلاته السابقة صحيحة.